【题目】对于某一函数给出如下定义:若存在实数,当其自变量的值为时,其函数值等于,则称为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度为零.例如,图1中的函数有0,1两个不变值,其不变长度等于1.
(1)分别判断函数,有没有不变值?如果有,请写出其不变长度;
(2)函数且,求其不变长度的取值范围;
(3)记函数的图像为,将沿翻折后得到的函数图像记为,函数的图像由和两部分组成,若其不变长度满足,求的取值范围.
【答案】
(1)不存在不变值;存在不变值,q=3;(2)0≤q≤2;(3)≤m≤4 或m<-0.5.
【解析】
(1)由题意得:y=x-3=x,无解,故不存在不变值;y=x2-2=x,解得:x=2或-1,即可求解;
(2)由题意得:y=x2-bx+1=x,解得:x= ,即可求解;
(3)由题意得:函数G的不变点为:2m-1+ 、2m-1- 、0、4;分x=m为G1的左侧、x=m为G1的右侧,两种情况分别求解即可.
解:(1)由题意得:y=x-3=x,无解,故不存在不变值;
y=x2-2=x,解得:x=2或-1,故存在不变值,q=2-(-1)=3;
(2)由题意得:y=x2-bx+1=x,
解得:x=,
q=,1≤b≤3,
解得:0≤q≤2;
(3)由题意得:y=x2-3x沿x=m对翻折后,
新抛物线的顶点为(2m-,-),
则新函数G2的表达式为:y=x2-(4m-3)x+(4m2-6m),
当y=x时,整理得:x2-(4m-2)x+(4m2-6m)=0,
x=2m-1±,
即G2的不变点是2m-1+和2m-1-;
G1的不变点是:0和4;
故函数G的不变点为:2m-1+、2m-1-、0、4,
这4个不变点最大值的可能是2m-1+、4,最小值可能2m-1-、0,
----当x=m为G1对称轴x=的左侧时,
①当最大值为2m-1+时,
当最小值为2m-1-时,
即:0≤2m-1+-(2m-1-)≤4,
解得:0≤m≤;
当最小值为0时,
同理可得:0≤m≤;
②当最大值为4时,
最小值为2m-1-即可(最小值为0,符合条件),
即0≤4-(2m-1-)≤4,
解得:m=;
综上:0≤m≤;
----当x=m为G1对称轴x=的右侧时,
同理可得:≤m≤;
故:≤m≤4 或m<-0.5.
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【题目】市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛,对他们进行了六次测试,测试成绩如下表(单位:环):
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | |
甲 | 10 | 8 | 9 | 8 | 10 | 9 |
乙 | 10 | 7 | 10 | 10 | 9 | 8 |
(1)根据表格中的数据,分别计算甲、乙的平均成绩;
(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差;
(3)根据(1)、(2)计算的结果,你认为推荐谁参加省比赛更合适,请说明理由.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=﹣1,点B的坐标为(1,0),则下列结论:①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0,其中正确的结论有( )个.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AB=12,点E为BC的中点,以CD为直径作半圆CFD,点F为半圆的中点,连接AF,EF,图中阴影部分的面积是( )
A. 18+36π B. 24+18π C. 18+18π D. 12+18π
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【题目】(12分)如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12 m,宽是4 m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m,到地面OA的距离为m.
(1)求抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向车道,那么这辆货车能否安全通过?
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B,与反比例函数y=在第一象限的图像交于点C(1,6)、点D(3,n).过点C作CE⊥y轴于E,过点D作DF⊥x轴于F.
(1)求m、n的值;
(2)求直线AB的函数解析式;
(3)试证明:△AEC≌△DFB;
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【题目】如图,已知抛物线C1:y=x2﹣2x﹣,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,已知M(4,0),点P是抛物线上的点,其横坐标为6,点D为抛物线的顶点.
(1)求S△ABC.
(2)点E、F是抛物线对称轴上的两动点,且已知E(2,a+)、F(2,a),当a为何值时,四边形PEFM周长最小?并说明理由.
(3)将抛物线C1绕点D旋转180°后得到抛物线C2沿直线CD平移,平移后的抛物线交y轴于点Q,顶点为R,平移后是否存在这样的抛物线,使△CRQ为等腰三角形?若存在,请求出此时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).
(1)当α=60°时,求CE的长;
(2)当60°<α<90°时,
①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
②连接CF,当CE2﹣CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.
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