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【题目】对于某一函数给出如下定义:若存在实数,当其自变量的值为时,其函数值等于,则称为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度为零.例如,图1中的函数有01两个不变值,其不变长度等于1

1)分别判断函数有没有不变值?如果有,请写出其不变长度;

2)函数,求其不变长度的取值范围;

3)记函数的图像为,将沿翻折后得到的函数图像记为,函数的图像由两部分组成,若其不变长度满足,求的取值范围.

【答案】
1)不存在不变值;存在不变值,q=3;(20≤q≤2;(3≤m≤4 m-0.5


【解析】

1)由题意得:y=x-3=x,无解,故不存在不变值;y=x2-2=x,解得:x=2-1,即可求解;
2)由题意得:y=x2-bx+1=x,解得:x= ,即可求解;
3)由题意得:函数G的不变点为:2m-1+ 2m-1- 04;分x=mG1的左侧、x=mG1的右侧,两种情况分别求解即可.

解:(1)由题意得:y=x-3=x,无解,故不存在不变值;
y=x2-2=x,解得:x=2-1,故存在不变值,q=2--1=3
2)由题意得:y=x2-bx+1=x
解得:x=
q=1≤b≤3
解得:0≤q≤2
3)由题意得:y=x2-3x沿x=m对翻折后,
新抛物线的顶点为(2m--),
则新函数G2的表达式为:y=x2-4m-3x+4m2-6m),
y=x时,整理得:x2-4m-2x+4m2-6m=0
x=2m-1±
G2的不变点是2m-1+2m-1-
G1的不变点是:04
故函数G的不变点为:2m-1+2m-1-04
4个不变点最大值的可能是2m-1+4,最小值可能2m-1-0
----x=mG1对称轴x=的左侧时,
①当最大值为2m-1+时,
当最小值为2m-1-时,
即:0≤2m-1+-2m-1-≤4
解得:0≤m≤
当最小值为0时,
同理可得:0≤m≤
②当最大值为4时,
最小值为2m-1-即可(最小值为0,符合条件),
0≤4-2m-1-≤4
解得:m=
综上:0≤m≤
----x=mG1对称轴x=的右侧时,
同理可得:≤m≤
故:≤m≤4 m-0.5

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第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

10

8

9

8

10

9

10

7

10

10

9

8

(1)根据表格中的数据,分别计算甲、乙的平均成绩;

(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差;

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