Question

20．已知二次函数y=（x-1）（mx-2）（m是常数，m≠0，且m≠2）
（1）求函数的图象与x轴的交点A、B，与y轴交点C的坐标；
（2）若函数的图象与x、y轴的交点恰好构成直角三角形的三个顶点，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与x轴的交点问题，通过解方程（x-1）（mx-2）=0即可得到点A、B的坐标，然后计算自变量为0时的函数值即可得到C点坐标；
（2）由于△ACB为直角三角形，利用点A和点C的坐标特征可判断点A与点B在y轴两侧，且∠ACB=90°，接着证明Rt△OBC∽Rt△OCA，利用相似比可得到2：1=-$\frac{2}{m}$：2，然后根据比例性质可求出m的值．

解答 解：（1）当y=0时，（x-1）（mx-2）=0，解得x₁=1，x₂=$\frac{2}{m}$，
所以函数的图象与x轴的交点A、B的坐标为（1，0），（$\frac{2}{m}$，0），
当x=0时，y=（x-1）（mx-2）=2，则C点坐标为（0，2）；
（2）∵△ACB为直角三角形，
∴点A与点B在y轴两侧，∠ACB=90°，设A（1，0），B（$\frac{2}{m}$，0），
∵∠OCB+∠OBC=90°，
而∠OCB+∠OCA=90°，
∴∠OBC=∠OCA，
∴Rt△OBC∽Rt△OCA，
∴OC：OA=OB：OC，即2：1=-$\frac{2}{m}$：2，
∴m=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．证明Rt△OBC∽Rt△OCA，利用相似比得到关于m的方程是解决此题的根据．