Question

【题目】问题提出

（1）如图（1），在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ACN＝ °．

类比探究

（2）如图（2），在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

拓展延伸

（3）如图（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使AM＝MN，连接CN．添加一个条件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）60；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，进而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可证明≌，继而得出结论；

（2）也可以通过证明≌，得出结论，和（1）的思路完全一样；

（3）当∠ABC＝∠AMN时，∽，利用相似的性质得到，又根据∠BAM＝∠CAN，证得∽，即可得到答案．

（1）证明：∵、是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在和中，

，
∴≌（SAS），
∴∠ABC=∠ACN；

∵是等边三角形

∴∠ABC=60°

∴∠ACN=∠ABC=60°．

（2）结论∠ACN＝60°仍成立．

理由如下：∵、都是等边三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，

∴≌，

∴∠ACN＝∠ABM＝60°．

（3）添加条件：∠ABC＝∠AMN．

理由如下：

∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，

∴∠BAC＝∠MAN，

∴∽，

∴．

又∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，

∴∠BAM＝∠CAN，

∴∽，

∴∠ABC＝∠ACN．