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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A(0,a),B(b,a),且a、b满足(a﹣2)2+|b﹣4|=0,现同时将点A,B分别向下平移2个单位,再向左平移1个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,AB.

(1)求点C,D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD

(2)在y轴上是否存在一点M,连接MC,MD,使SMCD=S四边形ABDC?若存在这样一点,求出点M的坐标,若不存在,试说明理由;

(3)点P是直线BD上的一个动点,连接PA,PO,当点PBD上移动时(不与B,D重合),直接写出∠BAP、DOP、APO之间满足的数量关系.

【答案】(1)8;(2)M(0,2)或(0,﹣2);(3)APO=DOP+BAP;DOP=BAP+APO;③∠BAP=∠DOP+∠APO.

【解析】

(1)先由非负数性质求出a=2,b=4,再根据平移规律,得出点CD的坐标,然后根据四边形ABDC的面积=AB×OA即可求解;

(2)存在.设M坐标为(0,m),根据SPAB=S四边形ABDC,列出方程求出m的值,即可确定M点坐标;

(3)分三种情况求解:①当点P在线段BD上移动时,②当点PDB的延长线上时,③当点PBD的延长线上时.

解:(1)(a﹣2)2+|b﹣4|=0,

a=2,b=4,

A(0,2),B(4,2).

∵将点A,B分别向下平移2个单位,再向左平移1个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,

C(﹣1,0),D(3,0).

S四边形ABDC=AB×OA=4×2=8;

(2)在y轴上存在一点M,使SMCD=S四边形ABCD.设M坐标为(0,m).

SMCD=S四边形ABDC

×4|m|=4,

2|m|=4,

解得m=±2.

M(0,2)或(0,﹣2);

(3)①当点P在线段BD上移动时,∠APO=DOP+BAP

理由如下:

过点PPEABOAE.

CDAB平移得到,则CDAB,

PECD,

∴∠BAP=APE,DOP=OPE,

∴∠BAP+DOP=APE+OPE=APO,

②当点PDB的延长线上时,同①的方法得,∠DOP=BAP+APO;

③当点PBD的延长线上时,同①的方法得,∠BAP=DOP+APO.

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