Question

如图，△ABC中，AC=BC=4

2

，∠C=90°，D是AB中点．动点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D至A匀速运动，到点A时停止；另一动点F也从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D至B匀速运动，点E停止时，点F也随即停止，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和点C在直线AB的同侧；记点E的运动时间为t（秒），对应的正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）求正方形EFGH的边GH经过点C时的t值；
（2）请直接写出S与t的函数关系式，并写出对应的自变量的取值范围；
（3）在点E的运动过程中，是否存在这样的t值，使得△AFH为等腰三角形？若存在，求出对应的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接CD，先根据勾股定理列式求出AB，再根据等腰直角三角形的性质，CD⊥AB且CD=

1

2

AB，再表示出EF，然后根据正方形的边长与CD相等列式求解即可；
（2）根据相似三角形对应高的比等于相似比求出G、H在△ABC边上的t值，然后分正方形EFGH在△ABC内部，GH过点C前，GH过点C后三种情况分别列式整理即可得解；
（3）表示出AE、EF，再根据正方形的对角线等于边长的

2

倍表示出FH，利用勾股定理列式表示出AH，然后分AF=FH，AH=FH，AF=AH三种情况列出方程求解即可．

解答：解：（1）如图，连接CD，∵AC=BC=4

2

，∠C=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=

(4 2 )2+(4 2 )2

=8，
∵D是AB中点，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD=

1

2

AB=

1

2

×8=4，
∵动点E、F的速度都是每秒1个单位长度，
∴正方形EFGH的边长EF=t+t=2t，
当正方形EFGH的边GH经过点C时，CD=EF，
∴2t=4，
解得t=2；

（2）如图，G、H在△ABC边上时，∵GH∥AB，
∴△ABC∽△HGC，
∴

HG

AB

=

CD-HE

CD

，
即

2t

8

=

4-2t

4

，
解得t=

4

3

，
E到达点A时，t=AD÷1=4÷1=4，
所以，分三种情况讨论：
①0≤t≤

4

3

时，如图1，正方形EFGH在△ABC内部，
此时，重叠部分为正方形EFGH的面积，S=（2t）²=4t²；
②

4

3

＜t≤2时，如图2，重叠部分为正方形EFGH的面积减去两个等腰直角三角形的面积，
设EH与AC相交于M，
∵DE=t，
∴ME=AE=AD-DE=4-t，
∴MH=2t-（4-t）=3t-4，
∴S=（2t）²-2×

1

2

（3t-4）²=-5t²+24t-16；
③2＜t≤4时，如图3，重叠部分为△ABC的面积减去两个小等腰直角三角形的面积，
AE=AD-DE=4-t，
S=

1

2

×4

2

×4

2

-2×

1

2

×（4-t）²，
=-t²+8t，
综上所述，S=

4t2(0≤t≤ 4 3 ) -5t2+24t-16( 4 3 ＜t≤2) -t2+8t(2＜t≤4)

；

（3）∵动点E、F的速度都是每秒1个单位长度，
∴DE=DF=t，
∴AE=4-t，EF=2t，
∴FH=

2

EF=2

2

t，
AF=AD+DF=4+t，
AH=

AE2+EH2

=

(4-t)2+(2t)2

=

5t2-8t+16

，
∵△AFH为等腰三角形，
∴①AF=FH时，4+t=2

2

t，
解得t=

4

2 2 -1

=

8 2 +4

7

，
②AH=FH时，

5t2-8t+16

=2

2

t，
解得t=

4

3

，t=-4（舍去），
③AF=AH时，4+t=

5t2-8t+16

，
解得t=4，t=0（舍去），
综上所述，t的值为

8 2 +4

7

秒，

4

3

秒，4秒时，△AFH为等腰三角形．

点评：本题考查了相似形综合题型，主要利用了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，（2）（3）两个小题，需要分情况讨论是本题的难点．