Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，AB=，点E，F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知点F的移动速度是点E移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG，设E点移动距离为x（0＜x＜6）．

（1）∠DCB=　 　度，当点G在四边形ABCD的边上时，x=　 　；

（2）在点E，F的移动过程中，点G始终在BD或BD的延长线上运动，求点G在线段BD的中点时x的值；

（3）当2＜x＜6时，求△EFG与四边形ABCD重叠部分面积y与x之间的函数关系式，当x取何值时，y有最大值？并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 30；2；（2）x=1；（3）当x=时，y最大=；

【解析】

(1)如图1中，作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形．AD=BH=3，BC=6，CH=BC﹣BH=3，当等边三角形△EGF的高= 时，点G在AD上，此时x=2；

（2）根据勾股定理求出的长度，根据三角函数，求出∠ADB=30°，根据中点的定义得出根据等边三角形的性质得到,即可求出x的值；
（3）图2，图3三种情形解决问题．①当2<x<3时，如图2中，点E、F在线段BC上，△EFG与四边形ABCD重叠部分为四边形EFNM；②当3≤x<6时，如图3中，点E在线段BC上，点F在射线BC上，重叠部分是△ECP；

（1）作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形．

∵AD=BH=3，BC=6，

∴CH=BC﹣BH=3，

在Rt△DHC中，CH=3，

∴

当等边三角形△EGF的高等于时，点G在AD上，此时x=2，∠DCB=30°，

故答案为：30，2，

（2）如图

∵AD∥BC

∴∠A=180°﹣∠ABC=180°﹣90°=90°

在Rt△ABD中，

∴∠ADB=30°

∵G是BD的中点

∴

∵AD∥BC

∴∠ADB=∠DBC=30°

∵△GEF是等边三角形，

∴∠GFE=60°

∴∠BGF=90°

在Rt△BGF中，

∴2x=2即x=1；

（3）分两种情况：

当2＜x＜3，如图2

点E、点F在线段BC上△GEF与四边形ABCD重叠部分为四边形EFNM

∵∠FNC=∠GFE﹣∠DCB=60°﹣30°=30°

∴∠FNC=∠DCB

∴FN=FC=6﹣2x

∴GN=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6

∵∠FNC=∠GNM=30°，∠G=60°

∴∠GMN=90°

在Rt△GNM中，

∴

∴当时，最大

当3≤x＜6时，如图3，

点E在线段BC上，点F在线段BC的延长线上，△GEF与四边形ABCD重叠部分为△ECP

∵∠PCE=30°，∠PEC=60°

∴∠EPC=90°

在Rt△EPC中EC=6﹣x，

对称轴为

当x＜6时，y随x的增大而减小

∴当x=3时，最大

综上所述：当时，最大