Question

14．天水市某果蔬公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共120吨去外地销售．按计划20辆都要装运，每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：

苹果种类	甲	乙	丙
每辆汽车装载量（吨）	8	6	5
每吨苹果获利（百元）	12	16	10

（1）设装运甲种苹果的车辆数为x，装乙种苹果的车辆数为y，求y与x之间的函数关系．
（2）如果装运每种苹果的车辆数都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案．
（3）若要使此次销售获得最大利润，应采用哪种安排方案，并求出此次销售的最大利润．

Answer 1

分析 （1）因为公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售，设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，则装运丙特产的车辆数为（20-x-y），且8x+6y+5（20-x-y）=120，整理即得y与x之间的函数关系式．
（2）因为装运每种土特产的车辆都不少于3辆，所以x≥3，y≥3，20-x-y≥3，结合（1）的答案，就可得到关于x的不等式组，又因为x是正整数，从而可求x的取值，进而确定方案．
（3）可设此次销售利润为W百元，由表格可得W=8x•12+6（20-3x）•16+5[20-x-（20-3x）]•10=-92x+1920，根据y随x的变化规律，结合（2）中所求，就可确定使利润最大的方案．

解答 解：（1）∵8x+6y+5（20-x-y）=120，
∴y=20-3x．
∴y与x之间的函数关系式为y=20-3x；
（2）由x≥3，y=20-3x≥3，即20-3x≥3可得3≤x≤5$\frac{2}{3}$，
又∵x为正整数，
∴x=3，4，5，
故车辆的安排有三种方案，即：
方案一：甲种3辆乙种11辆丙种6辆；
方案二：甲种4辆乙种8辆丙种8辆；
方案三：甲种5辆乙种5辆丙种10辆；
（3）设此次销售利润为W百元，
W=8x•12+6（20-3x）•16+5[20-x-（20-3x）]•10=-92x+1920．
∵W随x的增大而减小，又x=3，4，5
∴当x=3时，W_最大=1644（百元）=16.44万元．
答：要使此次销售获利最大，应采用（2）中方案一，即甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元．

点评 本题考查一次函数应用，关键是利用不等式组求出自变量的取值，从而确定方案．