Question

如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位．设从出发起运动了xs．
（1）Q点的坐标为（

2+

3

5

x

，

4-

4

5

x

）；（用含x的代数式表示）
（2）当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）过A作AC⊥OB于C，过Q作QM⊥OB于M，求出AC、BC、AB，根据sin∠ABO=

AC

AB

=

4

5

=

MQ

BQ

和cos∠ABO=

BC

AB

=

3

5

=

BM

BQ

求出MQ和BM，即可求出答案．
（2）根据勾股定理求出PQ、AP的平方，分为两种情况：①AP=AQ，②AP=PQ，得出方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）
过A作AC⊥OB于C，过Q作QM⊥OB于M，
∵A（2，4），B（5，0），
∴OC=2，AC=4，BC=5-2=3，
由勾股定理得：AB=5，
∵AQ=x，则BQ=5-x，
∴sin∠ABO=

AC

AB

=

4

5

=

MQ

BQ

，cos∠ABO=

BC

AB

=

3

5

=

BM

BQ

，
∴MQ=4-

4

5

x，BM=3-

3

5

x，
∴OM=OB-BM=2+

3

5

x，
故答案为：2+

3

5

x，4-

4

5

x．

（2）由题意得：P（5-x，0）0≤x≤5，
由勾股定理得：PQ²=（

8

5

x-3）²+（4-

4

5

x）²，
AP²=（3-x）²+4²，
当AQ=AP时，则x²=（3-x）²+4²，
解得：x=

25

6

，
当PQ=AP时，（

8

5

x-3）²+（4-

4

5

x）²=（3-x）²+4²，
解得：x=0（舍去），x=

50

11

，
综合上述：当x=

25

6

或x=

50

11

时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形．

点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质的应用，题目比较典型，有一定的难度，用了分类讨论思想和方程思想．