Question

【题目】如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（ ）
A.①②③
B.①④⑤
C.①③④
D.③④⑤

Answer 1

【答案】B
【解析】解：连接CF；

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；

∵AD=CE，

∴△ADF≌△CEF（SAS）；

∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；

∵∠AFD+∠CFD=90°，

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形（故①正确）．

当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）．

∵△ADF≌△CEF，

∴S△CEF=S△ADF
∴S四边形CEFD=S△AFC，（故④正确）．

由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；

即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF= BC=4．

∴DE= DF=4 （故③错误）．

当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．

此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8（故⑤正确）．

故B符合题意.
故答案为：B．

连接CF.先证明△ADF≌△CEF可得EF=DF、∠CFE=∠AFD，再由∠AFD+∠CFD=90°可得∠EFD=90°，从而判断①；
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，从而判断②；
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，从而求出DF的值，进而可得DE的值，可判断③；
由△ADF≌△CEF可得S四边形CEFD=S△AFC，从而判断④；
由④知，此时△DEF的面积最小．此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF，从而求出△CDE的面积，可判断⑤.