Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，sinA=，AB=14，BD是AC边上的中线．
求：（1）△ABC的面积；
（2）∠ABD的余切值．

Answer 1

解：（1）作CH⊥AB，垂足为点H．
∵sinA=，
∴设CH=3x，那么AC=5x，AH=4x．
∵∠ABC=45°，
∴BH=CH=3x．
∵AB=14，
∴4x+3x=14，
∴x=2，即CH=6，
∴△ABC的面积=AB•CH=×14×6=42；

（2）作DM⊥AB，垂足为点M．
∵DM∥CH，AD=CD，
∴DM=CH=3，AM=4．
∴BM=10，
∴cot∠ABD==．
分析：（1）作CH⊥AB，垂足为点H．先由sinA=，可设CH=3x，那么AC=5x，根据勾股定理得出AH=4x，在直角△BCH中，由∠ABC=45°，得出BH=CH=3x，再根据AB=AH+HB列出关于x的方程，解方程求出x=2，得到CH=6，然后根据△ABC的面积=AB•CH即可求解；
（2）作DM⊥AB，垂足为点M．先由DM∥CH，AD=CD，得出M为AH的中点，由三角形中位线定理得出DM=3，则AM=4，BM=10，然后在直角△BDM中根据余切函数的定义即可求出∠ABD的余切值．
点评：本题考查了勾股定理，三角函数的定义，三角形中位线定理，难度适中．通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．