Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D． 把三角形沿AE对折使点C落在AB边上的点F上，CD与折痕AE相交于G，连结FG并延长交AC于H．
（1）判断FH与BC的位置关系，并说明理由；
（2）判断HG与DG的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）连接EF，根据翻折变换的性质可得∠CAE=∠EAF，∠AFE=90°，CE=EF，根据垂直的定义可得∠ADC=90°，然后根据同位角相等，两直线平行判断出EF∥CD，然后根据等角的余角相等求出∠AGD=∠AEC，再求出∠CGE=∠AEC，根据等角对等边可得CG=CE，然后求出CG=EF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形CEFG是平行四边形，根据平行四边形对边平行可得GF∥CE，即FH∥BC；
（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠AHG=∠ACB=90°，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得HG=DG．

解答：（1）解：如图，连接EF，
由翻折的性质得，∠CAE=∠EAF，∠AFE=∠ACB=90°，CE=EF，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠AFE，
∴EF∥CD，
∵∠CAE=∠EAF，∠CAE+∠AEC=∠EAF+∠AGD=90°，
∴∠AGD=∠AEC，
又∵∠AGD=∠CGE（对顶角相等），
∴∠CGE=∠AEC，
∴CE=CG，
∴CG=EF，
∴四边形CEFG是平行四边形，
∴GF∥CE，
即FH∥BC；

（2）解：∵FH∥BC，
∴∠AHG=∠ACB=90°，
又∵∠CAE=∠EAF，
∴HG=DG．

点评：本题考查了翻折变换的性质，主要利用了等角对等边的性质，平行四边形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记各性质并求出四边形CEFG是平行四边形是解题的关键．