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【题目】如图,已知抛物线a0)经过A(﹣10)、B30)、C0,﹣3)三点,直线l是抛物线的对称轴

1)求抛物线的函数关系式;

2)设点P是直线l上的一个动点,当点P到点A、点B的距离之和最短时,求点P的坐标;

3)点M也是直线l上的动点,且△MAC为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M的坐标

【答案】(1);(2)P(1,0);(3)

【解析】

试题分析:(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可;

(2)由图知:A.B点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知,直线l与x轴的交点,即为符合条件的P点;

(3)由于△MAC的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC;可先设出M点的坐标,然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长,再按上面的三种情况列式求解.

试题解析:(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,﹣3)代入抛物线中,得:

,解得:故抛物线的解析式:

(2)当P点在x轴上,P,A,B三点在一条直线上时,点P到点A、点B的距离之和最短,此时x==1,故P(1,0);

(3)如图所示:抛物线的对称轴为:x==1,设M(1,m),已知A(﹣1,0)、C(0,﹣3),则:

====10;

①若MA=MC,则,得:=,解得:m=﹣1

②若MA=AC,则,得:=10,得:m=

③若MC=AC,则,得:=10,得:

当m=﹣6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去;

综上可知,符合条件的M点,且坐标为 M(1,)(1,)(1,﹣1)(1,0).

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