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【题目】如图所示,AB⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过CCD⊥AB于点DCDAE于点F,过CCG∥AEBA的延长线于点G

1)求证:CG⊙O的切线.

2)求证:AF=CF

3)若∠EAB=30°CF=2,求GA的长.

【答案】1)连接OC,由C是劣弧AE的中点,根据垂径定理得OC⊥AE,而CG∥AE,所以CG⊥OC,然后根据切线的判定定理即可得到结论。

2)连接ACBC,根据圆周角定理得∠ACB=90°∠B=∠1,而CD⊥AB,则∠CDB=90°,根据等角的余角相等得到∠B=∠2,所以∠1=∠2,于是得到AF=CF

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【解析】试题分析:(1)连结OC,由C是劣弧AE的中点,根据垂径定理得OC⊥AE,而CG∥AE,所以CG⊥OC,然后根据切线的判定定理即可得到结论;

2)连结ACBC,根据圆周角定理得∠ACB=90°∠B=∠1,而CD⊥AB,则∠CDB=90°,根据等角的余角相等得到∠B=∠2,所以∠1=∠2,于是得到AF=CF

3)在Rt△ADF中,由于∠DAF=30°FA=FC=2,根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1AD=,再由AF∥CG,根据平行线分线段成比例得到DAAG=DFCF

然后把DF=1AD=CF=2代入计算即可.

1)证明:连结OC,如图,

∵C是劣弧AE的中点,

∴OC⊥AE

∵CG∥AE

∴CG⊥OC

∴CG⊙O的切线;

2)证明:连结ACBC

∵AB⊙O的直径,

∴∠ACB=90°

∴∠2+∠BCD=90°

CD⊥AB

∴∠B+∠BCD=90°

∴∠B=∠2

∵C是劣弧AE的中点,

=

∴∠1=∠B

∴∠1=∠2

∴AF=CF

3)解:在Rt△ADF中,∠DAF=30°FA=FC=2

∴DF=AF=1

∴AD=DF=

∵AF∥CG

∴DAAG=DFCF,即AG=12

∴AG=2

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