Question

9．如图，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，E是CD中点，F是BC上一点，且AE平分∠DAF，求证：AF=AD+CF．

Answer 1

分析 作EM⊥AF于M，连接EF，证明Rt△ADE≌Rt△AME，Rt△EMF≌Rt△ECF，得出AD=AM，FM=FC，从而得出结论．

解答 解：如图，作EM⊥AF于M，连接EF，

∵∠D=90°，
∴∠D=∠AME=90°，
∵AE平分∠DAF，
∴∠1=∠2，
∴DE=ME，
在Rt△ADE与Rt△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=ME}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△AME，
∴AM=AD，
∵E是DC中点，
∴EC=DE=EM，
在Rt△EMF与Rt△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=EC}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EMF≌Rt△ECF，
∴FM=FC，
∵AF=AM+MF，
∴AF=AD+CF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．