Question

4．如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为（-4，0），抛物线y=ax²-2x经过点A．动点P从O点出发，沿y轴的负半轴运动，速度为1个单位/秒，过点P做y轴的垂线，交抛物线于点B、C，点B在左侧，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设线段BC的长为m，求m与t之间的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接OB、OC，点D为OP上一点，tan∠BOC=$\frac{BC}{OD}$，当t为何值时，PD=PC？

Answer 1

分析 （1）把点A代入抛物线y=ax²-2x即可求出a．
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-t}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$消去y得到：x²+4x-2t=0，x₁+x₂=-4，x₁x₂=-2t，BC=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，即可解决问题．
（3）如图作BM⊥OC交OP于D，垂足为M，证明△DOM∽△CBM得到PB=OP，设B（m，m），代入抛物线解析式得m=-$\frac{1}{2}$m²-2m即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-2x经过点A（-4，0），
∴0=16a+8，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-2x．
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-t}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$消去y得到：x²+4x-2t=0，
∵x₁+x₂=-4，x₁x₂=-2t
∴BC=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{16+8t}$，（t＞0），
（3）如图作BM⊥OC交OP于D，垂足为M．
∵∠OMD=∠BMC=90°，
∴∠DOM+∠OCP=90°，∠CBM+∠OCP=90°，
∴∠DOM=∠CBM，
∴△DOM∽△CBM，
∴$\frac{OD}{BC}=\frac{OM}{BM}$
∵tan∠BOC=$\frac{BC}{OD}$=$\frac{BM}{OM}$，
∴点D就是满足条件tan∠BOC=$\frac{BC}{OD}$的点D，
在△OPC和△BPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POC=∠PBD}\\{∠OPC=∠BPD}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴△OPC≌△BPD，
∴PB=OP，
设B（m，m）代入抛物线解析式得m=-$\frac{1}{2}$m²-2m解得m=-6（或0舍弃），
∴B（-6，-6），OP=6，
∴t=6时PD=PC．

点评 本题考查待定系数法求抛物线解析式、方程组与二次函数之间的关系、根与系数关系、以及相似三角形和全等三角形的判定和性质，综合性很强，有一定难度．学会转化的思想去思考问题，通过转化发现点D的位置，找到OP=PB这个重要条件．