Question

如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径作⊙O，点D是AC的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）确定点D与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）确定直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（3）过点D作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若DG=10，FB=2，求直径AB的长．

Answer 1

证明：（1）连接BD，
∵AB=BC，以AB为直径作⊙O，点D是AC的中点，
∴BD⊥AC，
∵AB是直径，∠ADB=90°，
∴点D，在⊙O上；

（2）连接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ADO=∠C，
∴DO∥BC．
∵DE⊥BC，
∴DO⊥DE．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．
（3）∵过点D作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，
DG=10，FB=2，
∴DF=FG=5，
∴DF²=BF×AF=25，
∴AF=，
∴AB=．
分析：（1）利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出即可；
（2）连接OD，只要证明OD⊥DE即可．本题可根据等腰三角形中两底角相等，将相等的角进行适当的转换，即可证得OD⊥DE；
（3）利用垂径定理以及相交线定理求出即可．
点评：此题考查了切线的判定、垂径定理、相交弦定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．