Question

【题目】（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，连接CD，BE交于点F．＝　　；∠BFD＝　　；

（2）如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AB＝AD，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点G．求的值及∠AGC的度数，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋转，AF，CE所在直线交于点P，若DE＝1，AD＝，求出当点P与点E重合时AF的长．

Answer 1

【答案】（1）1，150°；（2），∠AGC＝90°，见解析；（3）6

【解析】

（1）利用SAS判断出得出CD=BE，再用数据线的外角和三角形的内角和定理，即可得出结论.

（2）先判断出进而判断出△ADF∽△CDE,即可得出结论.

（3）先求出EF=2，设出CE，进而表示出AE，分两种情况：用勾股定理求出CE，即可得出结论.

解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝30°，

∴∠BAC+∠BAD＝∠DAE+∠BAD，

∴∠CAD＝∠BAE，

∵AC＝AB，AD＝AE，

∴△CAD≌△BAE（SAS），

∴CD＝BE，

∴＝1，

∵△CAD≌△BAE（SAS），

∴∠ACD＝∠ABE，

∴∠BFD＝∠DCB+∠CBE＝∠DCB+∠ABE+∠ABC＝∠DCB+∠ACD+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠BAC＝150°，

故答案为1，150°；

（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，AB＝CD，

∵AB＝AD，

∴＝，

在Rt△DEF中，∠DEF＝60°，

∴tan∠DEF＝，

∴＝，

∴，

∵∠EDF＝90°＝∠ADC，

∴∠ADF＝∠CDE，

∴△ADF∽△CDE，

∴，∠DAF＝∠DCE，

AD与CD的交点记作点O，

∵∠DCE+∠COD＝90°，

∴∠DAF+∠AOG＝90°，

∴∠AGC＝90°；

（3）如备用图，

连接AC，在Rt△ADC中，AD＝，

∴AB＝AD＝，

根据勾股定理得，AC＝2，

由（2）知，，

∴AF＝CE，

设CE＝x．则AF＝x，

在Rt△DEF中，∠DEF＝60°，DE＝1，

∴EF＝2，

∴AE＝AF﹣EF＝x﹣2，

由（2）知，∠AEC＝90°，

在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2，

∴（x﹣2）2+x2＝28，

∴x＝﹣（舍）或x＝2，

∴AF＝x＝6．