已知半圆O的半径为$\sqrt{5}$．①如图1.正方形DEFG是半圆的内接正方形.则正方形DEFG的边长为2②如图2.正方形DEFG和正方形ECNM彼此相邻且内接于半圆O.则这两个正方形的边长分别是2.1.其面积之和为5③如图3.在半圆O中.放入正方形DEFG和正方形CEMN.使得边DE.CE在半径AB上.点G.N分别在半圆弧上．请问这两个正方形的面积之� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．已知半圆O的半径为$\sqrt{5}$．
①如图1，正方形DEFG是半圆的内接正方形，则正方形DEFG的边长为2
②如图2，正方形DEFG和正方形ECNM彼此相邻且内接于半圆O，则这两个正方形的边长分别是2，1，其面积之和为5
③如图3，在半圆O中，放入正方形DEFG和正方形CEMN，使得边DE，CE在半径AB上，点G、N分别在半圆弧上．请问这两个正方形的面积之和有变化吗？若没有变化，请证明；若有变化是否存在某种规律？求这两个正方形的周长之和的最大值和最小值，并说明理由．

分析（1）利用半圆的性质和勾股定理即可求出正方形的边长，
（2）借助（1）的结论，再用勾股定理即可求出小正方形的边长，最后用面积公式即可；
（3）设出两个正方形的边长，利用勾股定理建立方程求解即可得出结论，再找出分界点即可得出周长之和的最大值和最小值．

解答解：（1）如图1，正方形DEFG是半圆的内接正方形，
∴点O是DE中点，
∴OD=OE=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$GD，
在Rt△COD中，OD²+GD²=OC²，
∴（$\frac{1}{2}$GD）²+GD²=5，
∴GD=2，
故答案为2，
（2）如图2，同（1）的方法得出OE=1，连接ON，
∵正方形ECNM彼此相邻且内接于半圆O，
∴CE=CN，
在Rt△OCN中，OC=OE+CE=OE+CN=1+CN，ON=$\sqrt{5}$，
∴OC²+CN²=ON²，
∴（1+CN）²+CN²=5，
∴舍负取正得，CN=1，
∴S_{正方形DEFG}+S_{正方形ECNM}=2²+1²=5，
故答案为：2，1；5，
（3）这两个正方形的面积之和没有变化
理由：如图3，连接ON，OG，
设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG的边长为b，
∴OD=$\sqrt{O{G}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{5-{b}^{2}}$，OC=$\sqrt{5-{a}^{2}}$，
∵OE=OC-CE=DE-OD，
∴$\sqrt{5-{a}^{2}}$-a=b-$\sqrt{5-{b}^{2}}$，
∴$\sqrt{5-{a}^{2}}$+$\sqrt{5-{b}^{2}}$=a+b，
∴a²+b²=5=（$\sqrt{5}$）²，
即：两个正方形的面积之和始终是半圆的半径的平方；
∴两个正方形的周长之和为4（a+b），
当半圆中放两个一样大的正方形时，此时周长之和最大，
∴a=b，
∵a²+b²=5，
∴a=b=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，∴两个正方形的周长之和最大为4$\sqrt{10}$，
当半圆中放一个最大的正方形，再放一个最小的正方形时，此时周长之和最小，
即：（1）的情况，两个正方形的周长之和最小为4（2+1）=12．

点评此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，正方形的性质，勾股定理，正方形的面积和周长，解本题的关键是得出a²+b²=5．

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