Question

【题目】在等腰△ABC中，

（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为；
（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将 线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE．
①根据题意在图2中补全图形；
②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE．经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：
思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；
思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；
思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG；
…
请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE．（只需要用一种方法证明即可）
（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的数量关系，这个数量关系是 ． （直接给出结论无须证明）

Answer 1

【答案】
（1）30°
（2）

①

②思路1：如图2（a），连接AE，

∵AD=DE，∠ADE=60°，

∴△ADE是等边三角形，

∵△ABC是等边三角形，

∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAD=60°，

∴∠EAB=∠CAD，

在△AEB△与ADC中， ，

∴△AEB≌△ADC，

∴CD=BE；

思路2：过点D作DF∥AB，交AC于F，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠BAC=60°，

∵DF∥AB，

∴∠DFC=60°，

∴△CDF是等边三角形，

∴∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°，

∴∠DAF=∠EDB，

在△ADF与△DEB中， ，

∴△ADF≌△DEB，

∴DF=BE=CD；

思路3：如图2（c），延长CB至G，使BG=CD，∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠BAC=60°，

∵CD=BG，

∴DG=AC，∴∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°，

∴∠DAF=∠EDB，

在△ADC与△DEG中， ，

∴△ADC≌△DEG，

∴CD=EG=BG=60°，

∴BE=BG=CD；

（3）k（BE+BD）=AC
【解析】解：（1.）∵△ABC是等边三角形，D为线段BC中点，
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°，
∵线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，
∴AB⊥DE，
∴∠BDE=30°；
故答案为：30°；
（3.）k（BE+BD）=AC，
如图3，连接AE，

∵AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，
∴∠EAB=∠DAC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD，
在△AEB△与ADC中， ，
∴△AEB≌△ADC，
∴CD=BE；
∵BC=BD+CD，
∴BC=BD+BE，
∵AC=kBC，
∴AC=k（BD+BE），
故答案为：k（BE+BD）=AC．
（1）根据等边三角形的性质得到∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°，由线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，得到AB⊥DE，于是得到结论；
（2.）思路1：如图2（a），连接AE，思路2：过点D作DF∥AB，交AC于F，思路3：如图2（c），延长CB至G，使BG=CD，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（3.）如图3，连接AE，根据已知条件得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，于是得到∠EAB=∠DAC，根据全等三角形的性质得到CD=BE；根据线段的和差即可得到结论．