Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，有一点C，过点C分别作CA⊥x轴，CB⊥y轴，点A、B是垂足．
定义：若长方形OACB的周长与面积的数值相等，则点C是平面直角坐标系中的平衡点．
（1）请判断下列是平面直角坐标系中的平衡点的是；（填序号）
①E（1，2）②F（﹣4，4）
（2）若在第一象限中有一个平衡点N（4，m）恰好在一次函数y=﹣x+b（b为常数）的图象上；
①求m、b的值；
②一次函数y=﹣x+b（b为常数）与y轴交于点D，问：在这函数图象上，是否存在点M，使S△OMD=3S△OND ， 若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点P（0，﹣2），且平行于x轴的直线上有平衡点Q吗？若有，请求出平衡点Q的坐标；若没有，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）②
（2）

解：①∵N是第一象限中的平衡点，

∴4m=2（4+m），解得m=4，

∴N（4，4），

∵N点在y=﹣x+b的图象上，

∴4=﹣4+b，解得b=8；

②由①可知一次函数解析式为y=﹣x+8，

∴D（0，8），

∴OD=8，且N（4，4），

∴S△OND= ×4×8=16，

∴S△OMD=3S△OND=3×16=48，

设M坐标为（t，﹣t+8），则M到y轴的距离为|t|，

∴ ×8×|t|=48，解得t=12或t=﹣12，

当t=12时，﹣t+8=﹣4，当t=﹣12时，﹣t+8=20，

∴存在满足条件的点M，其坐标为（12，﹣4）或（﹣12，20）；

（3）

解：∵PQ∥x轴，且P（0，﹣2），

∴可设点Q坐标为（x，﹣2），

∵点Q为平衡点，

∴2|x|=2（|x|+2），该方程无解，

∴不存在满足条件的Q点．

【解析】解：（1）∵1×2≠2×（|﹣1|+2），4×4=2×（|﹣4|+4），
∴点E不是平衡点，点N是平衡点，
所以答案是：②；
【考点精析】利用一次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小．