Question

2．如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是等腰AB上的一点，且AD=2DB，DF∥BC，E为DB的中点，若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为15．

Answer 1

分析 过D点作DG⊥AC，垂足为G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，根据题意设BE=DE=x，则AD=AF=4x，由DG∥EF，利用平行线分线段成比例求FG，由DF∥BC得△ADF∽△ABC，利用相似比求DF，同时可得∠DFG=∠C，易证Rt△DFG∽Rt△ACH，利用相似比求x，在Rt△ABH中，用勾股定理求AH，计算△ABC的面积，由△ADF∽△ABC，利用相似三角形的性质求△ADF的面积，作差求四边形DBCF的面积．

解答 解：如图，过D点作DG⊥AC，垂足为G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，
∵E为BD的中点，且AD=2DB，
∴可设BE=DE=x，则AD=AF=4x，
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴DG∥EF，
$\frac{AE}{AF}=\frac{DE}{FG}$，
即$\frac{5x}{4x}=\frac{x}{FG}$，
解得FG=$\frac{4}{5}$x，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
$\frac{DF}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
即$\frac{DF}{6}=\frac{4x}{6x}$，
解得DF=4，
又∵DF∥BC，
∴∠DFG=∠C，
∴Rt△DFG∽Rt△ACH，
∴$\frac{DF}{AC}=\frac{FG}{CH}$，
即$\frac{4}{6x}=\frac{\frac{4x}{5}}{3}$
解得x²=2.5，
在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=9，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AH=$\frac{1}{2}$×6×9=27，
又∵△ADF∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADF}}{S△ABC}$=$\frac{4}{9}$，
S_△ADF=$\frac{4}{9}$×27=12，
∴S_{四边形DBCF}=S_△ABC-S_△ADF=27-12=15，
故答案为：15．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理．关键是通过作辅助线，构造相似三角形，利用相似比解题．