Question

12．如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，已知点C的坐标是（8，4）．
（1）求对角线AB所在直线的函数关系式；
（2）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；
（3）若点P是直线AB上的一个动点，当△PAM的面积与长方形OACB的面积相等时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由坐标系中点的意义结合图形可得出A、B点的坐标，设出对角线AB所在直线的函数关系式，由待定系数法即可求得结论；
（2）由相似三角形的性质找到BM的长度，再结合OM=OB-BM得出OM的长，根据勾股定理即可得出线段AM的长；
（3）先求出直线AM的解析式，设出P点坐标，由点到直线的距离求出AM边上的高h，再结合三角形面积公式与长方形面积公式即可求出P点坐标．

解答 解：（1）∵四边形AOBC为长方形，且点C的坐标是（8，4），
∴AO=CB=4，OB=AC=8，
∴A点坐标为（0，4），B点坐标为（8，0）．
设对角线AB所在直线的函数关系式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{4=b}\\{0=8k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴对角线AB所在直线的函数关系式为y=-$\frac{1}{2}$x+4．
（2）∵四边形AOBC为长方形，且MN⊥AB，
∴∠AOB=∠MNB=90°，
又∵∠ABO=∠MBN，
∴△AOB∽△MNB，
∴$\frac{MB}{AB}=\frac{BN}{BO}$．
∵AO=CB=4，OB=AC=8，
∴由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵MN垂直平分AB，
∴BN=AN=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{5}$．
$\frac{MB}{AB}$=$\frac{BN}{BO}$=$\frac{2\sqrt{5}}{8}$=$\frac{MB}{4\sqrt{5}}$，即MB=5．
OM=OB-MB=8-5=3，
由勾股定理可得：
AM=$\sqrt{A{O}^{2}+O{M}^{2}}$=5．
（3）∵OM=3，
∴点M坐标为（3，0）．
又∵点A坐标为（0，4），
∴直线AM的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4．
∵点P在直线AB：y=-$\frac{1}{2}$x+4上，
∴设P点坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+4），
点P到直线AM：$\frac{4}{3}$x+y-4=0的距离h=$\frac{|\frac{4}{3}m-\frac{1}{2}m+4-4|}{\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|m|}{2}$．
△PAM的面积S_△PAM=$\frac{1}{2}$AM•h=$\frac{5}{4}$|m|=S_OABC=AO•OB=32，
解得m=±$\frac{128}{5}$，
故点P的坐标为（$\frac{128}{5}$，-$\frac{44}{5}$）或（-$\frac{128}{5}$，$\frac{84}{5}$）．

点评 本题考查了坐标系中点的意义、相似三角形的判定及性质、勾股定义、点到直线的距离、三角形和长方形的面积公式，解题的关键：（1）根据坐标系中点的意义，找到A、B点的坐标；（2）由相似三角形的相似比找出BM的长度；（3）结合点到直线的距离、三角形和长方形的面积公式找到关于m的一元一次方程．本题属于中等题，难度不大，（1）小问容易得出结论；（2）没有直接找OM长度，而是利用相似三角形找出BM的长度，此处部分学生可能会失分；（3）难度不大，运算量不小，这里尤其要注意点P有两个．