Question

【题目】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是矩形；

（2）如图②，若四边形ABCD满足∠A＝∠C＞90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）连接BD，证明Rt△ABD≌Rt△CDB得AD＝CB，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证明四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个是直角的平行四边形是矩形可得结论；

（2）分别过点B、D作BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F，证明△ABE≌△CDF，进而证明四边形EBFD是矩形，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到结论．

（1）证明：如图①，连接BD，

∵∠A＝∠C＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，

AB＝CD，BD＝DB，

∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）．

∴AD＝CB，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠A＝90°，

∴四边形ABCD是矩形．

（2）如图②，分别过点B、D作BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F，

∵∠BAD＝∠BCD，

∴∠BAE＝∠DCF，

在△ABE和△CDF中，∠AEB＝∠CFD＝90°，∠BAE＝∠DCF，AB＝CD，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴BE＝DF，AE＝CF，

由（1）可得四边形EBFD是矩形，

∴ED＝BF，

∴AD＝BC，

∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．