Question

【题目】如图，四边形是平行四边形，连接对角线，过点作与的延长线交于点，连接交于．

（1）求证：；

（2）连结，若，且，求证：四边形是正方形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析．

【解析】

（1）根据平行四边形的性质得：AD∥BC，AD=BC，又由平行四边形的判定得：四边形ACED是平行四边形，又由平行四边形的对边相等可得结论；

（2）根据（1）：四边形ACED是平行四边形，对角线互相平分可得：结合，从而证明AD=AB，即邻边相等，证明四边形为菱形，再证明 从而∠ABC=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得结论．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∵AC∥DE，

∴四边形ACED是平行四边形，

∴AD=CE，

∴BC=CE；

（2）由（1）知：四边形ACED是平行四边形，

∴DF=CF=AB，EF=AF，

∵AD=2CF，

∴AB=AD，

四边形为平行四边形，

四边形为菱形，

∵AD∥EC，

∴

∴四边形ABCD是正方形．