Question

【题目】如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）判断△ABM的形状，并说明理由；

（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有两个不动点．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣1；（2））△ABM为直角三角形，理由详见解析；（3）当m＜时，平移后的抛物线总有两个不动点．

【解析】

（1）由条件可分别求得A、B的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）结合（1）中A、B、C的坐标，根据勾股定理可分别求得AB、AM、BM，可得到AB2+AM2=BM2，可判定△ABM为直角三角形；

（3）由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立y=x，可得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式可求得m的范围．

（1）∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，

∴A（﹣1，0），

又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，

∴B（2，3），

∵抛物线顶点在y轴上，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，

把A、B两点坐标代入可得，

解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣1；

（2）△ABM为直角三角形．理由如：

由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），

∴AM=，AB=，BM=，

∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，

∴△ABM为直角三角形；

（3）当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，

联立y=x，可得，

消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，

∵平移后的抛物线总有不动点，

∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0有两个不等的实数根，

∴△＞0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，

解得m＜，

即当m＜时，平移后的抛物线总有两个不动点．