Question

6．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F
（1）如图1，求证：FG=FB；
（2）如图2，连接BD、AC，若BD=BG，求证：AC∥BF．

Answer 1

分析 （1）连接OC，OB，若要证明FG=FB，只要转化为证明∠FGB=∠FBG即可；
（2）由已知条件易证∠DGB=∠GDB，因为∠CAB和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，所以∠CAB=∠BDC，进而可证明∠CAB=∠GBF，则AC∥BF．

解答 证明：（1）如图1，连接OB，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠OBF=90°，
∴∠OBA+∠GBF=90°，
∵OA⊥CD，
∴∠AEG=90°，
∴∠AGE+∠EAG=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠AGE=∠FBG，
∵∠AGE=∠FGB，
∴∠FGB=∠FBG，
∴FG=FB；

（2）∵BD=BG，
∴∠DGB=∠GDB，
∵∠CAB和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠CAB=∠BDC，
∴∠CAB=∠FGB，
∵∠FGB=∠FBG，
∴∠CAB=∠GBF，
∴AC∥FB．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握和各种几何图形有关的定理及性质是解本题的关键．