Question

【题目】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．

（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：解：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

又∵∠ABC=30°，AB=4，

∴BD=2，

∵D是BC的中点，

∴BC=2BD=4；

（2）

证明：连接OD．

∵D是BC的中点，O是AB的中点，

∴DO是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED

又∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°

∴DE是⊙O的切线．

【解析】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；
（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．