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【题目】如图,△ABC和△BDE都是等腰直角三角形,其中∠ACB=∠BDE=90°,AC=BC,BD=ED,连接AE,点F是AE的中点,连接DF.
(1)如图1,若B、C、D共线,且AC=CD=2,求BF的长度;
(2)如图2,若A、C、F、E共线,连接CD,求证:DC= DF.

【答案】
(1)解:∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形,

∴AC=BC=CD=2,BD=DE=4,BE=4 ,AB=2 ,∠ABC=∠DBE=45°,

∴∠ABE=90°,

∴AE= = =2

∵AF=EF,

∴BF= AE=


(2)证明:作AM∥DE交DF的延长线于M,交BD于N,连接CM.

∵AM∥DE,

∴∠MAE=∠DEF,

在△AFM和△EFD中,

∴△AFM≌△EFD,

∴AM=DE=BD,

∵∠BCE=∠BDE=90°,∠COB=∠DOE,

∴∠CBD=∠DEF=∠MAF.

在△ACM和△BCD中,

∴△ACM≌△BCD,

∴∠ACM=∠BCD,CM=CD,

∴∠ACB=∠MCD=90°

∴△CDM是等腰直角三角形,

易知△BOC∽△EOD,

=

=

∴△BOE∽△COD,

∴∠DCO=∠OBE=45°,

∴∠FCD=∠FCM=45°,∵CM=CD,

∴FM=DF,CF⊥DM,

∴△CDF是等腰直角三角形,

∴CD= DF


【解析】(1)证明△ABE是直角三角形,求出AB、BE,理由勾股定理求出AE,再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题.(2)作AM∥DE交DF的延长线于M,交BD于N,连接CM.只要证明△CDM,△CDF都是等腰直角三角形即可解决问题;
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识,掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°.

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【题目】如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC交⊙O于D,D是BC的中点.

(1)求BC的长;
(2)过点D作DE⊥AC,垂足为E,求证:直线DE是⊙O的切线.

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【题目】小昆和小明玩摸牌游戏,游戏规则如下:有3张背面完全相同,牌面标有数字1、2、3的纸牌,将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上,随机抽出一张,记下牌面数字,放回后洗匀再随机抽出一张.

(1)请用画树形图或列表的方法(只选其中一种),表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果;
(2)若规定:两次抽出的纸牌数字之和为奇数,则小昆获胜,两次抽出的纸牌数字之和为偶数,则小明获胜,这个游戏公平吗?为什么?

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【题目】甲、乙两人在1800米长的直线道路上跑步,甲、乙两人同起点、同方向出发,并分别以不同的速度匀速前进.已知,甲出发30秒后,乙出发,乙到终点后立即返回,并以原来的速度前进,最后与甲相遇,此时跑步结束.如图,y(米)表示甲、乙两人之间的距离,t(秒)表示甲出发的时间,图中折线及数据表示整个跑步过程中y与t函数关系.那么,乙到终点后秒与甲相遇.

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【题目】如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=120°,E,F分别为AD,CD上的动点,且AE+CF=2,则线段EF长的最小值是

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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,在斜边AB上取一点D,过点D作DE∥BC,交AC于点E,现将△ADE绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置(点D在△ABC的内部),使得∠ABD+∠ACD=90°.

(1)①求证:△ABD∽△ACE;
②若CD=1,BD= ,求AD的长.
(2)如图3,将原题中的条件“AC=BC”去掉,其它条件不变,设 = =k,若CD=1,BD=2,AD=3,求k的值.

(3)如图4,将原题中的条件“∠ACB=90°”去掉,其它条件不变,若 = = ,设CD=m,BD=n,AD=p,试探究m,n,p三者之间满足的等量关系.(直接写出结果,不必写出解答过程)

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【题目】如图,抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,2),抛物线的对称轴交x轴于点D.

(1)求抛物线的解析式;
(2)求sin∠ABC的值;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(4)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时线段EF最长?求出此时E点的坐标.

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【题目】某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高,并制作了如下不完整的统计图表.

身高分组

频数

频率

152≤x<155

3

0.06

155≤x<158

7

0.14

158≤x<161

m

0.28

161≤x<164

13

n

164≤x<167

9

0.18

167≤x<170

3

0.06

170≤x<173

1

0.02


根据以上统计图表完成下列问题:
(1)统计表中m= , n= , 并将频数分布直方图补充完整
(2)在这次测量中两班男生身高的中位数在:范围内;
(3)在身高≥167cm的4人中,甲、乙两班各有2人,现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中,请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率.

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