【题目】如图,△ABC和△BDE都是等腰直角三角形,其中∠ACB=∠BDE=90°,AC=BC,BD=ED,连接AE,点F是AE的中点,连接DF.
(1)如图1,若B、C、D共线,且AC=CD=2,求BF的长度;
(2)如图2,若A、C、F、E共线,连接CD,求证:DC= DF.
【答案】
(1)解:∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形,
∴AC=BC=CD=2,BD=DE=4,BE=4 ,AB=2 ,∠ABC=∠DBE=45°,
∴∠ABE=90°,
∴AE= = =2 ,
∵AF=EF,
∴BF= AE=
(2)证明:作AM∥DE交DF的延长线于M,交BD于N,连接CM.
∵AM∥DE,
∴∠MAE=∠DEF,
在△AFM和△EFD中,
,
∴△AFM≌△EFD,
∴AM=DE=BD,
∵∠BCE=∠BDE=90°,∠COB=∠DOE,
∴∠CBD=∠DEF=∠MAF.
在△ACM和△BCD中,
,
∴△ACM≌△BCD,
∴∠ACM=∠BCD,CM=CD,
∴∠ACB=∠MCD=90°
∴△CDM是等腰直角三角形,
易知△BOC∽△EOD,
∴ = ,
∴ = ,
∴△BOE∽△COD,
∴∠DCO=∠OBE=45°,
∴∠FCD=∠FCM=45°,∵CM=CD,
∴FM=DF,CF⊥DM,
∴△CDF是等腰直角三角形,
∴CD= DF
【解析】(1)证明△ABE是直角三角形,求出AB、BE,理由勾股定理求出AE,再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题.(2)作AM∥DE交DF的延长线于M,交BD于N,连接CM.只要证明△CDM,△CDF都是等腰直角三角形即可解决问题;
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识,掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°.
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【题目】如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC交⊙O于D,D是BC的中点.
(1)求BC的长;
(2)过点D作DE⊥AC,垂足为E,求证:直线DE是⊙O的切线.
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【题目】如图,某景区有一出索道游览山谷的旅游点,已知索道两端距离AB为1300米,在山脚C点测得BC的距离为500米,∠ACB=90°,在C点观测山峰顶点A的仰角∠ACD=23.5°,求山峰顶点A到C点的水平面高度AD.(参考数据:sin23.5°≈0.40,cos23.5°=0.92,tan23.5°=0.43)
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【题目】小昆和小明玩摸牌游戏,游戏规则如下:有3张背面完全相同,牌面标有数字1、2、3的纸牌,将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上,随机抽出一张,记下牌面数字,放回后洗匀再随机抽出一张.
(1)请用画树形图或列表的方法(只选其中一种),表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果;
(2)若规定:两次抽出的纸牌数字之和为奇数,则小昆获胜,两次抽出的纸牌数字之和为偶数,则小明获胜,这个游戏公平吗?为什么?
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【题目】甲、乙两人在1800米长的直线道路上跑步,甲、乙两人同起点、同方向出发,并分别以不同的速度匀速前进.已知,甲出发30秒后,乙出发,乙到终点后立即返回,并以原来的速度前进,最后与甲相遇,此时跑步结束.如图,y(米)表示甲、乙两人之间的距离,t(秒)表示甲出发的时间,图中折线及数据表示整个跑步过程中y与t函数关系.那么,乙到终点后秒与甲相遇.
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,在斜边AB上取一点D,过点D作DE∥BC,交AC于点E,现将△ADE绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置(点D在△ABC的内部),使得∠ABD+∠ACD=90°.
(1)①求证:△ABD∽△ACE;
②若CD=1,BD= ,求AD的长.
(2)如图3,将原题中的条件“AC=BC”去掉,其它条件不变,设 = =k,若CD=1,BD=2,AD=3,求k的值.
(3)如图4,将原题中的条件“∠ACB=90°”去掉,其它条件不变,若 = = ,设CD=m,BD=n,AD=p,试探究m,n,p三者之间满足的等量关系.(直接写出结果,不必写出解答过程)
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【题目】如图,抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,2),抛物线的对称轴交x轴于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求sin∠ABC的值;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(4)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时线段EF最长?求出此时E点的坐标.
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【题目】某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高,并制作了如下不完整的统计图表.
身高分组 | 频数 | 频率 |
152≤x<155 | 3 | 0.06 |
155≤x<158 | 7 | 0.14 |
158≤x<161 | m | 0.28 |
161≤x<164 | 13 | n |
164≤x<167 | 9 | 0.18 |
167≤x<170 | 3 | 0.06 |
170≤x<173 | 1 | 0.02 |
根据以上统计图表完成下列问题:
(1)统计表中m= , n= , 并将频数分布直方图补充完整;
(2)在这次测量中两班男生身高的中位数在:范围内;
(3)在身高≥167cm的4人中,甲、乙两班各有2人,现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中,请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率.
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