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【题目】如图,AB⊙O的直径,点F、C⊙O上且连接AC、AF,过点CCD⊥AFAF的延长线于点D.

(1)求证:CD⊙O的切线;

(2), CD=4,求⊙O的半径.

【答案】(1)证明见解析;(2).

【解析】

(1)连结OC,由,根据圆周角定理得∠FAC=BAC,而∠OAC=OCA,则∠FAC=OCA,可判断OCAF,由于CDAF,所以OCCD,然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线;
(2)连结BC,由AB为直径得∠ACB=90°,由F,C,B三等分半圆得∠BOC=60°,则∠BAC=30°,所以∠DAC=30°,在RtADC中,利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8,在RtACB中,根据勾股定理求得AB,进而求得⊙O的半径.

(1)证明:连结OC,如图,

∴∠FAC=BAC,

OA=OC,

∴∠OAC=OCA,

∴∠FAC=OCA,

OCAF,

CDAF,

OCCD,

CD是⊙O的切线;

(2)解:连结BC,如图,

AB为直径,

∴∠ACB=90°,

=

∴∠BOC=×180°=60°,

∴∠BAC=30°,

∴∠DAC=30°,

RtADC中,CD=4,

AC=2CD=8,

RtACB中,BC2+AC2=AB2

82+(AB)2=AB2

AB=

∴⊙O的半径为

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