Question

15．如果$\frac{{a}^{-1}+b}{a+{b}^{-1}}$=k，则$\frac{{a}^{-2}+{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{-2}}$等于k²．

Answer 1

分析 首先由$\frac{{a}^{-1}+b}{a+{b}^{-1}}$=k，根据负整数指数幂的意义及分式的基本性质得出$\frac{b}{a}$=k，再化简$\frac{{a}^{-2}+{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{-2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=（$\frac{b}{a}$）²=k²．

解答 解：∵$\frac{{a}^{-1}+b}{a+{b}^{-1}}$=$\frac{\frac{1}{a}+b}{a+\frac{1}{b}}$=$\frac{b+a{b}^{2}}{{a}^{2}b+a}$=$\frac{b}{a}$=k，
∴$\frac{{a}^{-2}+{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{-2}}$=$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}{b}^{4}}{{a}^{4}{b}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=（$\frac{b}{a}$）²=k²．
故答案为k²．

点评 此题考查了负整数指数幂的意义：a^-p=$\frac{1}{{a}^{p}}$（a≠0，p为正整数），正确化简分式，得出$\frac{{a}^{-1}+b}{a+{b}^{-1}}$=$\frac{b}{a}$是解题关键．