Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，-3），与x轴交于点B，且与直线$y=3x-\frac{8}{3}$平行．
（1）求：直线l的函数解析式及点B的坐标；
（2）直线l上有一点M（a，-6），过点M作x轴的垂线，交直线y=3x-$\frac{8}{3}$于点N，求线段MN的长；
（3）在直线MN上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，直接写出所有可能的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行直线的解析式的k值相等设出直线l的解析式，然后把A点坐标代入求解即可，再令y=0求解即可得到点B的坐标；
（2）把点M的坐标代入直线l求出a的值，再求出点N的坐标，然后求解即可；
（3）设点P的坐标为（1，y），先利用勾股定理列式求出AB，再分①A是顶角顶点坐标时，利用勾股定理列出方程，然后求解即可；②B是顶角顶点坐标时，利用勾股定理列方程求解即可；③AB是底边时，根据PA=PB利用勾股定理列出方程，然后求解即可．

解答 解：（1）∵直线l与直线y=3x-$\frac{8}{3}$平行，
∴设直线l的解析式为y=3x+b，
∵直线l经过点A（2，-3），
∴2×3+b=-3，
解得b=-9，
所以，直线l的解析式为y=3x-9，
令y=0，则3x-9=0，
解得x=3，
所以，点B（3，0）；

（2）∵点M（a，-6）是直线l上一点，
∴3a-9=-6，
解得a=1，
∴点M（1，-6），
当x=1时，y=3x-$\frac{8}{3}$=3×1-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴MN=$\frac{1}{3}$-（-6）=6$\frac{1}{3}$；

（3）∵点P在直线MN上，
∴设点P的坐标为（1，y），
∵A（2，-3），B（3，0），
∴AB=$\sqrt{（2-3）^{2}+（-3-0）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
①A是顶角顶点坐标时，∵AP=AB，
∴$\sqrt{（1-2）^{2}+（y+3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
解得y₁=0，y₂=-6（舍去），
∴点P（1，0）；
②B是顶角顶点坐标时，∵BP=AB，
∴$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-y）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
解得y=±$\sqrt{6}$，
∴点P的坐标为（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）；
③AB是底边时，∵PA=PB，
∴$\sqrt{（1-2）^{2}+（y+3）^{2}}$=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-y）^{2}}$，
解得y=-1，
所以，点P的坐标为（1，-1）；
综上所述，直线MN上存在点P（1，0）或（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）或（1，-1）使△ABP为等腰三角形．

点评 本题是一次函数综合题型，主要利用了两直线平行的问题，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理，难点在于分情况讨论并利用勾股定理列出方程．