【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)直线y=﹣x﹣2与该抛物线在第四象限内交于点D,与x轴交于点F,连接AC,CD,线段AC与线段DF交于点G,求证:△AGF≌△CGD;
(3)直线y=m(m>0)与该抛物线的交点为M,N(点M在点N的左侧),点M关于y轴的对称点为点M′,点H的坐标为(1,0),若四边形NHOM′的面积为,求点H到OM′的距离d.
【答案】(1) y=x2﹣x﹣3,C(0,-3);(2)见解析;(3)
【解析】
(1)根据抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,可得抛物线的解析式;
(2)根据F(-2,0),A(-1,0),可得AF=1,再根据点D的坐标为(1,-3),点C的坐标为(0,-3),可得CD∥x轴,CD=1,再根据∠AFG=∠CDG,∠FAG=∠DCG,即可判定△AGF≌△CGD;
(3)根据轴对称的性质得出OH=1=M'N,进而判定四边形OM'NH是平行四边形,再根据四边形OM'NH的面积为,求得OP=,再根据点M的坐标为(,),得到PM'= Rt△OPM'中,运用勾股定理可得OM'=,最后根据OM'×d=,即可得到d=.
(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,
∴,
解得,
∴该抛物线的解析式y=x2﹣x﹣3.
令x=0,则y=﹣3,
∴C(0,﹣3);
(2)证明:∵直线EF的解析式为y=﹣x﹣2,
∴当y=0时,x=﹣2,
∴F(﹣2,0),OF=2,
∵A(﹣1,0),
∴OA=1,
∴AF=2﹣1=1,
由解得,,
∵点D在第四象限,
∴点D的坐标为(1,﹣3),
∵点C的坐标为(0,﹣3),
∴CD∥x轴,CD=1,
∴∠AFG=∠CDG,∠FAG=∠DCG,
在△AGF与△CGD中
∴△AGF≌△CGD(ASA);
(3)∵抛物线的对称轴为x=﹣=,直线y=m(m>0)与该抛物线的交点为M,N,
∴点M、N关于直线x=对称,
设N(t,m),则M(1﹣t,m),
∵点 M关于y轴的对称点为点M',
∴M'(t﹣1,m),
∴点M'在直线y=m上,
∴M'N∥x轴,
∴M'N=t﹣(t﹣1)=1,
∵H(1,0),
∴OH=1=M'N,
∴四边形OM'NH是平行四边形,
设直线y=m与y轴交于点P,
∵四边形OM'NH的面积为,
∴OH×OP=1×m=,即m=,
∴OP=,
当x2﹣x﹣3=时,
解得x1=﹣,x2=,
∴点M的坐标为(﹣,),
∴M'(,),即PM'=,
∴Rt△OPM'中,OM'==,
∵四边形OM'NH的面积为 ,
∴OM'×d=,
∴d=.
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【题目】超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加元,每天售出件.
(1)请写出与之间的函数表达式;
(2)当为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元?
(3)设超市每天销售这种玩具可获利元,当为多少时最大,最大值是多少?
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【题目】如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度,他们通过调整测量位置,使斜边DF与地面保持平行,并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上,已知DE=1米,EF=0.5米,测点D到地面的距离DG=3米,到旗杆的水平距离DC=40米,求旗杆的高度.
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【题目】如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=4,把边长分别为,,,…,的n个正方形依次放入△ABC中,则第n个正方形的边长_______________(用含n的式子表示).
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【题目】二次函数的图象如图所示,以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b>0;④其顶点坐标为(,﹣2);⑤当x<时,y随x的增大而减小;⑥a+b+c>0正确的有( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
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【题目】如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点M作MP⊥OA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了x秒.
(1)求P点的坐标(用含x的代数式表示);
(2)试求△NPC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值;
(3)设四边形OMPC的面积为S1,四边形ABNP的面积为S2,请你就x的取值范围讨论S1与S2的大小关系并说明理由;
(4)当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?
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【题目】二次函数
(1)写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.
(2)判断点是否在该函数图象上,并说明理由.
(3)求出以该抛物线与两坐标轴的交点为顶点的三角形的面积.
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【题目】如图,在△ABC中,∠A=36°,AC=AB=2,将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE,使点E在边AC上,DE交AB于点F,则△AFE与△DBF的面积之比等于( )
A. B. C. D.
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【题目】为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为xm,矩形区域ABCD的面积为ym2.
(1)求AE的长(用x的代数式表示)
(2)当y=108m2时,求x的值
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