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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线yx2+bx+cx轴交于A(﹣10),B20)两点,与y轴交于点C

(1)求该抛物线的解析式及点C的坐标;

(2)直线y=﹣x2与该抛物线在第四象限内交于点D,与x轴交于点F,连接ACCD,线段AC与线段DF交于点G,求证:AGF≌△CGD

(3)直线ymm0)与该抛物线的交点为MN(点M在点N的左侧),点M关于y轴的对称点为点M,点H的坐标为(10),若四边形NHOM的面积为,求点HOM的距离d

【答案】(1) yx2x3,C(0,-3);(2)见解析;(3)

【解析】

1)根据抛物线yx2+bx+cx轴交于A(﹣10),B20)两点,可得抛物线的解析式;

2)根据F-20),A-10),可得AF=1,再根据点D的坐标为(1-3),点C的坐标为(0-3),可得CDx轴,CD=1,再根据∠AFG=CDG,∠FAG=DCG,即可判定AGF≌△CGD

3)根据轴对称的性质得出OH=1=M'N,进而判定四边形OM'NH是平行四边形,再根据四边形OM'NH的面积为,求得OP=,再根据点M的坐标为(),得到PM' RtOPM'中,运用勾股定理可得OM'=,最后根据OM'×d=,即可得到d=

1)∵抛物线yx2+bx+cx轴交于A(﹣10),B20)两点,

解得

∴该抛物线的解析式yx2x3

x0,则y=﹣3

C0,﹣3);

2)证明:∵直线EF的解析式为y=﹣x2

∴当y0时,x=﹣2

F(﹣20),OF2

A(﹣10),

OA1

AF211

解得

∵点D在第四象限,

∴点D的坐标为(1,﹣3),

∵点C的坐标为(0,﹣3),

CDx轴,CD1

∴∠AFG=∠CDG,∠FAG=∠DCG

AGFCGD

∴△AGF≌△CGDASA);

3)∵抛物线的对称轴为x=﹣,直线ymm0)与该抛物线的交点为MN

∴点MN关于直线x对称,

Ntm),则M1tm),

∵点 M关于y轴的对称点为点M'

M't1m),

∴点M'在直线ym上,

M'Nx轴,

M'Nt﹣(t1)=1

H10),

OH1M'N

∴四边形OM'NH是平行四边形,

设直线ymy轴交于点P

∵四边形OM'NH的面积为

OH×OPm,即m

OP

x2x3时,

解得x1=﹣x2

∴点M的坐标为(﹣),

M'),即PM'

RtOPM'中,OM'

∵四边形OM'NH的面积为

OM'×d

d

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