Question

14．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心，ED为半径作半圆，交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、ND为直径作半圆，则阴影部分面积为（　　）

• A． 9$\sqrt{5}$
• B． 18$\sqrt{5}$
• C． 36$\sqrt{5}$
• D． 72$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+△DMN的面积-大半圆的面积，MN的半圆的直径，从而可知∠MDN=90°，在Rt△MDN中，由勾股定理可知：MN²=MD²+DN²，从而可得到两个小半圆的面积=大半圆的面积，故此阴影部分的面积=△DMN的面积，在Rt△AED中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，所以MN=6$\sqrt{5}$，然后利用三角形的面积公式求解即可．

解答 解：根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+△DMN的面积-大半圆的面积．
∵MN是半圆的直径，
∴∠MDN=90°．
在Rt△MDN中，MN²=MD²+DN²，
∴两个小半圆的面积=大半圆的面积．
∴阴影部分的面积=△DMN的面积．
在Rt△AED中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴阴影部分的面积=△DMN的面积=$\frac{1}{2}MN•AD$=$\frac{1}{2}×6\sqrt{5}×6=18\sqrt{5}$．
故选：B．

点评 本题主要考查的是求不规则图形的面积，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解答此类问题的常用方法，发现阴影部分的面积=△DMN的面积是解题的关键．