Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线与AB相交于点E．

（1）求证：DE⊥AB；

（2）若BE=2，BC=6，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的直径为．

【解析】

（1）连接AD，OD，得出AD⊥BC，再根据AB=AC得出BD=CD，得出OD是三角形ABC的中位线，从而得出OD∥AB，从而得证；

（2）根据BE=2，BC=6得出,易证△AED∽△ADC，AEa，AD=3a，解直角三角形AED得出a的值，从而求算AB，算出直径．

（1）连接AD，OD．

∵AC是⊙O的直径，

∴AD⊥BC．

∵AB=AC，

∴BD=CD．

∵AO=CO，

∴OD∥AB，

∴DE⊥AB；

（2）∵DE⊥AB，

∴∠BED=∠AED=90°．

∵BE=2，BC=6，

∴BD=CD=3，

∴DE，

∵∠AED=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，

∴△AED∽△ADC，

∴，

设AEa，AD=3a．

∵AE2+DE2=AD2，

∴5a2+5=9a2，

∴a(负值舍去)，

∴AE，

∴AB=AE+BE，

∴⊙O的直径为．