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【题目】如图所示,已知正方形ABCD,直角三角形纸板的一个锐角顶点与点A重合,纸板绕点A旋转时,直角三角形纸板的一边与直线CD交于E,分别过B、D作直线AE的垂线,垂足分别为F、G.

(1)当点E在DC延长线时,如图①,求证:BF=DG﹣FG;

(2)将图①中的三角板绕点A逆时针旋转得图②、图③,此时BF、FG、DG之间又有怎样的数量关系?请直接写出结论(不必证明)

【答案】(1)证明见解析;(2)图2:BF=DG+FG,图3:BF=FG﹣DG.

【解析】

试题分析:(1)如图①,由四边形ABCD是正方形,可得AB=AD,由B、D作直线AE的垂线,垂足分别为F、G.可得AFB=DGA=90°由角的关系可得ABF=GAD,可得ABF≌△ADG可得BF=AG,AF=DG,利用AG=AF﹣FG;即可证得BF=DG﹣FG;

(2)如图②,由四边形ABCD是正方形,可得AB=AD,由B、D作直线AE的垂线,垂足分别为F、G.可得AFB=DGA=90°由角的关系可得ABF=GAD,可得ABF≌△ADG可得BF=AG,AF=DG,利用AG=AF+FG,可得BF=DG+FG;如图③,由四边形ABCD是正方形,可得AB=AD,由B、D作直线AE的垂线,垂足分别为F、G.可得AFB=DGA=90°由角的关系可得ABF=GAD,可得ABF≌△ADG可得BF=AG,AF=DG,利用AG=FG﹣AF,可得BF=FG﹣DG.

试题解析:(1)如图①,四边形ABCD是正方形,AB=AD,B、D作直线AE的垂线,垂足分别为F、G,∴∠AFB=DGA=90°,∵∠BAF+GAD=90°,BAF+ABF=90°∴∠ABF=GAD,在ABF和ADG中,∵∠AFB=DGA,ABF=DAG,AB=AD∴△ABF≌△ADG(AAS),BF=AG,AF=DG,AG=AF﹣FGBF=DG﹣FG;

(2)如图②,四边形ABCD是正方形,AB=AD,B、D作直线AE的垂线,垂足分别为F、G,∴∠AFB=DGA=90°,∵∠BAF+GAD=90°,BAF+ABF=90°∴∠ABF=DAG,在ABF和ADG中,∵∠AFB=DGA,ABF=DAG,AB=AD∴△ABF≌△ADG(AAS),BF=AG,AF=DG,AG=AF+FGBF=DG+FG;

如图③,四边形ABCD是正方形,AB=AD,B、D作直线AE的垂线,垂足分别为F、G,∴∠AFB=DGA=90°,∵∠BAF+GAD=90°,BAF+ABF=90°∴∠ABF=DAG,在ABF和ADG中,∵∠AFB=DGA,ABF=DAG,AB=AD∴△ABF≌△ADG(AAS),BF=AG,AF=DG,AG=FG﹣AFBF=FG﹣DG.

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