Question

11．如图，已知A、B两点坐标分别为（8，0）、（0，6），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为（　　）

• A． （8，6）
• B． （7，7）
• C． （7$\sqrt{2}$，7$\sqrt{2}$）
• D． （5$\sqrt{2}$，5$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 作PH⊥x轴于H，连结PA、PB，由A、B两点的坐标可求出AB，由△PAB和△POH都为等腰直角三角形，得出PA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，PH=OH，设OH=t，在在Rt△PHA中，运用勾股定理求出t的值，即可得出点P的坐标．

解答 解：如图，作PH⊥x轴于H，连结PA、PB，
∵∠AOB=90°，
∴AB为△AOB外接圆的直径，
∴∠BPA=90°，
∵A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∵∠AOP=45°，
∴∠ABP=45°，
∴△PAB和△POH都为等腰直角三角形，
∴PA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$，PH=OH，
设OH=t，则PH=t，AH=8-t，
在Rt△PHA中，
∵PH²+AH²=PA²，即t²+（8-t）²=（5$\sqrt{2}$）²，
解得t₁=7，t₂=1（舍去），
∴P点坐标为（7，7）．
故选B．

点评 本题考查的是圆周角定理及等腰直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．