Question

7．在平面直角坐标系中，A（2，0），∠BAO=75°，AB=6$\sqrt{2}$，以AB为斜边作等腰直角△ABC，如图所示，则C点坐标为（5，3$\sqrt{3}$）和（2-3$\sqrt{3}$，3）．

Answer 1

分析 分两种情况：①点C在第一象限，②点C在第二象限．针对每一种情况，分别画出图形，再利用解直角三角形求出距离，从而得出C点坐标．

解答 解：分两种情况：
①如图1，过点C作CE⊥OA于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=6$\sqrt{2}$，
∴∠BAC=45°，AC=BC=6，
∵∠BAO=75°，
∴∠OAC=75°+45°=120°，
∴∠CAE=60°，
∴AE=3，CE=3$\sqrt{3}$，
∴OE=OA+AE=2+3=5，
则点C坐标为（5，3$\sqrt{3}$）；
②如图2，过点C作CD⊥OA于D．
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=6$\sqrt{2}$，
∴∠BAC=45°，AC=BC=6，
∵∠BAO=75°，
∴∠OAC=75°-45°=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC=3，OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=3$\sqrt{3}$，
∴OE=AE-OA=3$\sqrt{3}$-2
∴点C坐标为（2-3$\sqrt{3}$，3）．
综上可知点C坐标为（5，3$\sqrt{3}$）和（2-3$\sqrt{3}$，3）．
故答案为：（5，3$\sqrt{3}$）和（2-3$\sqrt{3}$，3）．

点评 考查了坐标与图形性质和等腰直角三角形性质，注意分类思想的运用，有一定的难度．