Question

【题目】如图，AB为⊙O直径，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，射线DC切⊙O于点C、交AB的延长线于点P，连接AC交DE于点F，作CH⊥AB于点H．

（1）求证：∠D=2∠A；

（2）若HB=2，cosD=，请求出⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5．

【解析】分析：（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCP=90°，根据垂直的定义得到∠DEP=90°，得到∠COB=∠D，根据圆周角定理证明；

（2）设⊙O的半径为r，根据余弦的定义计算即可．

详解：

（1）证明：连接OC，

∵射线DC切⊙O于点C， ∴∠OCP=90°
∵DE⊥AP，∴∠DEP=90°
∴∠P+∠D=90°，∠P+∠COB=90°
∴∠COB=∠D
∵OA=OC, ∴∠A=∠OCA
∵∠COB=∠A+∠OCA ∴∠COB=2∠A
∴∠D=2∠A
（2）解：由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，
∴cos∠COP=cos∠D=，
∵CH⊥OP，∴∠CHO=90°，
设⊙O的半径为r，则OH=r﹣2．
在Rt△CHO中，cos∠HOC===，
∴r=5