Question

【题目】如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D。

（1）求证：∠PCD=∠PDC；（2）求证：OP垂直平分线段CD

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）∠PCD=∠PDC．由于P点是∠AOB平分线上一点，根据角平分线的性质可以推出PC=PD，然后利用等腰三角形的性质即可得到结论；

（2）根据已知条件首先容易证明Rt△POC≌Rt△POD，从而得到OC=OD，由（1）有PC=PD，利用线段的垂直平分线的判定即可证明结论．

(1)∠PCD=∠PDC.

理由：∵OP是∠AOB的平分线，

且PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC=PD，

∴∠PCD=∠PDC；

(2)OP是CD的垂直平分线.

理由：∵∠OCP=∠ODP=90°，

在Rt△POC和Rt△POD中，

，

∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)，

∴OC=OD，

由PC=PD，OC=OD，可知点O、P都是线段CD的垂直平分线上的点，

从而OP是线段CD的垂直平分线.