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【题目】如图,二次函数的图象与轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.该抛物线的顶点为M.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)判断BCM的形状,并说明理由.

(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以点PAC为顶点的三角形与BCM相似?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】(1;(2BCMRt;(3O00),P10),P290).

【解析】试题分析:(1)已知抛物线图象上的三点坐标,可用待定系数法求出该抛物线的解析式;

2)根据BCM的坐标,可求得△BCM三边的长,然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可;

3)假设存在符合条件的P点;首先连接AC,根据AC的坐标及(2)题所得△BDC三边的比例关系,即可判断出点O符合P点的要求,因此以PAC为顶点的三角形也必与△COA相似,那么分别过AC作线段AC的垂线,这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求,可根据相似三角形的性质(或射影定理)求得OP的长,也就得到了点P的坐标.

解:(1二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A﹣10),B30)两点,

解得:

则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3

2△BCM为直角三角形,理由为:

对于抛物线解析式y=x2﹣2x﹣3=x﹣12﹣4,即顶点M坐标为(1﹣4),

x=0,得到y=﹣3,即C0﹣3),

根据勾股定理得:BC=3BM=2CM=

∵BM2=BC2+CM2

∴△BCM为直角三角形;

3)若∠APC=90°,即P点和O点重合,如图1

连接AC

∵∠AOC=∠MCB=90°,且=

∴Rt△AOC∽Rt△MCB

此时P点坐标为(00).

P点在y轴上,则∠PAC=90°,如图2,过AAP1⊥ACy轴正半轴于P1

∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCM

=

=

P10).

P点在x轴上,则∠PCA=90°,如图3,过CCP2⊥ACx轴正半轴于P2

∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCM

=

=AP2=10

P290).

符合条件的点有三个:O00),P10),P290).

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