Question

1．试说明下列等式成立：
（1）（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-a}$）²=$\frac{1}{（a-b）^{2}}$+$\frac{1}{（b-c）^{2}}$+$\frac{1}{（c-a）^{2}}$；
（2）$\frac{b-c}{（a-b）（a-c）}$+$\frac{c-a}{（b-c）（b-a）}$+$\frac{a-b}{（c-a）（c-b）}$=$\frac{2}{a-b}$+$\frac{2}{b-c}$+$\frac{2}{c-a}$．

Answer 1

分析 （1）设$\frac{1}{a-b}$=x，$\frac{1}{b-c}$=y，$\frac{1}{c-a}$=z，原式要成立即为（x+y+z）²=x²+y²+z²，即证明xy+yz+xz=0，证明即可；
（2）右边三项变形为六项，结合后通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到结果与左边相等，得证．

解答 解：（1）设$\frac{1}{a-b}$=x，$\frac{1}{b-c}$=y，$\frac{1}{c-a}$=z，
即要证明（x+y+z）²=x²+y²+z²，
整理得：2xy+2yx+2xz=0，即xy+yz+xz=0，
而xy+yz+xz=$\frac{1}{（a-b）（b-c）}$+$\frac{1}{（b-c）（c-a）}$+$\frac{1}{（a-b）（c-a）}$=$\frac{c-a+a-b+b-c}{（a-b）（b-c）（c-a）}$=0，
∴（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz=x²+y²+z²，
则（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-a}$）²=$\frac{1}{（a-b）^{2}}$+$\frac{1}{（b-c）^{2}}$+$\frac{1}{（c-a）^{2}}$；
（2）右边=（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{c-a}$）+（$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{a-b}$）+（$\frac{1}{c-a}$+$\frac{1}{b-c}$）
=$\frac{a-c-a+b}{（a-b）（a-c）}$+$\frac{b-a-b+c}{（b-c）（b-a）}$+$\frac{c-b-c+a}{（c-a）（c-b）}$
=$\frac{b-c}{（a-b）（a-c）}$+$\frac{c-a}{（b-c）（b-a）}$+$\frac{a-b}{（c-a）（c-b）}$=左边，
则$\frac{b-c}{（a-b）（a-c）}$+$\frac{c-a}{（b-c）（b-a）}$+$\frac{a-b}{（c-a）（c-b）}$=$\frac{2}{a-b}$+$\frac{2}{b-c}$+$\frac{2}{c-a}$．

点评 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．