Question

11．已知抛物线y=x²-2mx+4m-8的顶点为A．

（1）求证：该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）当m=1时，直线BC：y=kx-2与该抛物线交于B，C两点，若线段BC被x轴平分，求k的值；
（3）以A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在抛物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式的符号进行证明；
（2）把m=1代入函数解析式得到该抛物线的解析式．由直线方程和抛物线方程得到x²-2x-4=kx-2，利用线段BC的中点的纵坐标是0，结合韦达定理可以求得k的值；
（3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，得到△AMN的面积是m无关的定值．

解答 （1）证明：△=4m²-4（4m-8）=4（m-2）²+16＞0，则该抛物线与x轴总有两个交点；

（2）解：当m=1时，y=x²-2x-4．
∵抛物线y=x²-2x-4与直线y=kx-2交于B、C两点，
∴x²-2x-4=kx-2，
整理，得x²-（2+k）x-2=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=2+k．
∵x轴平分线段PQ，
∴线段BC的中点的纵坐标是0，即$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{k{x}_{1}-2+k{x}_{2}-2}{2}$=$\frac{2+k}{2}$，
∴$\frac{k（2+k）-4}{2}$=$\frac{2+k}{2}$，
解得 k=-1±$\sqrt{5}$．
即k的值是：-1±$\sqrt{5}$．

（3）解：根据抛物线和正三角形的对称性，可知MN⊥y轴，设抛物线的对称轴与MN交于点B，则AB=$\sqrt{3}$BM．
设M（a，b），
∴BM=a-m（m＜a）．
又AB=y_B-y_A=b-（4m-8-m²）=a²-2ma+4m-8-（4m-8-m²）=（a-m）²，
∴（a-m）²=$\sqrt{3}$（a-m），
∴a-m=$\sqrt{3}$，
∴BM=$\sqrt{3}$，AB=3，
∴S_△AMN=2×$\frac{1}{2}$AB•BM=2×$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$定值．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点问题、根的判别式、对称轴与不等式、二次函数的平移、正三角形的性质等知识，综合性强，思维含量高，需要同学们加强练习，方能正确解答．