Question

如图，PC为⊙O的切线，PM平分∠CPA，交CA、CB于E、F
（1）求证：∠PCE=∠B；
（2）若CE、CF为方程x²+（m-2）+m+1=0的两根，求CE的长．

Answer 1

考点：切线的性质,根与系数的关系

专题：

分析：（1）作直径CN，连接AN，根据圆周角定理求出∠B=∠N，∠NAC=90°，根据切线性质得出∠PCN=90°，即可得出答案；
（2）求出CF=CE，根据根的判别式求出m的值，得出一元二次方程，求出方程的解即可．

解答：（1）证明：作直径CN，连接AN，
则∠B=∠N，∠NAC=90°，
∵PC切⊙O于C，
∴∠PCN=90°，
∴∠PCA+∠ACN=90°，∠N+∠ACN=90°，
∴∠PCA=∠N=∠B；

（2）解：∵PM平分∠CPB，
∴∠CPM=∠BPM，
∵∠CPM+∠PCA=∠CEF，∠BPM+∠B=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∵CE、CF为方程x²+（m-2）+m+1=0的两根，
∴△=（m-2）²-4（m+1）=0，
解得：m=0或8，
即方程为①x²-2x+1=0，x²+6x+9=0，
解方程①得：x₁=x₂=1；
解方程②得：x₃=x₄═-3（舍去）；
即CE=1．

点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理，一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，三角形外角性质的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．