Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE=CE；
（2）若BD=1，BE=2，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的三线合一即可证明．
（2）由△BED∽△BAC，得$\frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}$，列出方程即可解决问题．

解答  （1）证明：连结AE，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，而AB=AC，
∴BE=CE．

（2）连结DE，如图，
∵BE=CE=2，
∴BC=4，
∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{2}{BA}=\frac{1}{4}$，
∴BA=8，
∴AC=BA=8．

点评 本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．