Question

11．已知二次函数y=ax²+bx-3a经过点A（-1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A（-1，0）、B（3，0）代入二次函数y=ax²+bx-3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx-3a经过点A（-1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3a=0}\\{-3a=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4得，D点坐标为（1，4），
∴CD=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
BD=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵CD²+BC²=（$\sqrt{2}$）²+（3$\sqrt{2}$）²=20，BD²=（2$\sqrt{5}$）²=20，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD是直角三角形；

（3）存在．
y=-x²+2x+3对称轴为直线x=1．
①若以CD为底边，则P₁D=P₁C，
设P₁点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P₁C²=x²+（3-y）²，P₁D²=（x-1）²+（4-y）²，
因此x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²，
即y=4-x．
又P₁点（x，y）在抛物线上，
∴4-x=-x²+2x+3，
即x²-3x+1=0，
解得x₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$＜1，应舍去，
∴x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
∴y=4-x=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，
即点P₁坐标为（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）．
②若以CD为一腰，
∵点P₂在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P₂与点C关于直线x=1对称，
此时点P₂坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或（2，3）．

点评 此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．