Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．
（1）求证：FE⊥AB；
（2）当EF=6，$\frac{OA}{OF}$=$\frac{3}{5}$时，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质证明D是BC的中点，得到OD是△ABC的中位线，根据切线的性质证明结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式计算得到答案．

解答 （1）证明：连接AD、OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
又∵AB=AC，
∴CD=DB，又CO=AO，
∴OD∥AB，
∵FD是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴FE⊥AB；
（2）∵$\frac{OA}{OF}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OA}{AF}$=$\frac{3}{2}$，
∵OD∥AB，
∴$\frac{DE}{EF}$=$\frac{OA}{AF}$=$\frac{3}{2}$，又EF=6，
∴DE=9．

点评 本题考查的是切线的性质和平行线分线段成比例定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径和等腰三角形的三线合一是解题的关键．