Question

16．如图，A，B两点的坐标分别是（8，0），（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，同时，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜$\frac{10}{3}$）秒，解答如下问题：设△AQP的面积为S个平方单位，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由线段比例关系$\frac{AP}{AB}=\frac{PD}{OB}$求得PD，依据三角形的面积公式可求得S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值．

解答 解：如图所示：过点P作PD⊥x轴于点D．

在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10．
∵PD⊥x轴，OB⊥x轴，
∴OB∥PD．
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{PD}{OB}$，即$\frac{10-3t}{10}=\frac{PD}{6}$．
∴PD=6-$\frac{9}{5}$t．
由三角形的面积公式可知：S=$\frac{1}{2}$AQ•PD=$\frac{1}{2}$•2t•（6-$\frac{9}{5}$t）=6t-$\frac{9}{5}$t²．
∴S与t的函数关系式为y=-$\frac{9}{5}$t²+6t．
∴S=-$\frac{9}{5}$（t-$\frac{5}{3}$）²+5．
∴当t=$\frac{5}{3}$s时，S有最大值，最大值为5（平方单位）．

点评 本题主要考查的是动点问题的函数图象、配方法求二次函数的最值，求得PD的长度是解题的关键．