Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．
（1）若∠AFC=45°，求证：BF⊥AD；
（2）若AD为角平分线，BF⊥AD，连接CE．
①求证：AD=2BF；
②求证：AB=AC+CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由∠AFC=∠ABC可得出A、B、F、C四点共圆，再结合圆周角定理可得出∠AFB=∠ACB=90°，可得出结论；
（2）①延长BF交AC的延长线于点E，则由条件可知△ABE为等腰三角形，结合条件可证明△ACD≌△BCE，可得出结论，
②过D作DG⊥AB于点G，可证得△ACD≌△AGD，得到AC=AE，CD=DE，且DE=DB，可得出结论．

解答：（1）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠AFC=45°，
∴A、B、F、C四点共圆，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BF⊥AD；
（2）证明：①如图1，延长BF交AC的延长线于点E，

∵AD为∠CAB的平分线，AF⊥BF，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
∴BE=2BF，∠ECAD=∠EBC，
在Rt△ACD和Rt△BCE中，

∠CAD=∠EBC AC=BC ∠ACD=∠ECB

，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AC=BE=2BF；
②如图2，过D作DG⊥AB于点G，

∵AD平分∠CAB，
∴DC=DG，
在Rt△ACD和Rt△AGD中，

AD=AD CD=CG

，
∴Rt△ACD≌Rt△AGD（HL），
∴AG=AC，GD=CD，
∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠DBG=45°，
∴BG=DG，
∴AB=AG+GB=AC+DG=AC+CD．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形、角平分线的性质的应用，寻找、构造三角形全等是解题的关键．