Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=16，D在边BC上，BD=6，AD⊥DE交AC于点E，EF⊥BC于点F．
（1）填空：图中相似三角形有

 

；
（2）求线段FC的长；
（3）过点D的直线分别交直线AB、线段AE于G、H，是否存在这样的直线，使△AGH与△CDH相似？若存在，求AG的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据题意结合图形即可判断出有两对相似三角形．
（2）设出线段FC、EF的长度，运用相似三角形的性质列出两对比例式，进而构造出了两个方程，解方程组即可解决问题．
（3）经比较、分析，若△AGH与△CDH相似，只有△AGH∽△DCH；利用相似三角形的性质列出比例式求出BG的长，进而求出AB的长．

解答：解：（1）如图，
∵∠B=90°，AD⊥DE，EF⊥BC，
∴∠BAD+∠ADB=∠ADB+∠EDF，
∴∠BAD=∠EDF，而∠B=∠EFD，
∴△ABD∽△DFE；
又∵∠B=∠EFD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△EFC；
故答案为：△ABD∽△DFE，△ABC∽△EFC．

（2）∵BC=16，BD=6，
∴DC=16-6=10；
设FC=x，EF=y，则DF=10-x；
∵由（1）知△ABD∽△DFE，
∴

AB

DF

=

BD

EF

，即

8

10-x

=

6

y

，
∴4y=30-3x①；
又∵由（1）知△ABC∽△EFC，
∴

AB

EF

=

BC

CF

，即

8

y

=

16

x

，
∴2y=x②；
联立①、②并解得x=6，y=3，
故线段FC的长为6．
                                                              
（3）存在这样的直线GH，使△AGH与△CDH相似；
∵∠DHC＞∠GAH，
∴若△AGH与△CDH相似，必有∠EDH=∠BAH，
此时，A、B、D、H四点公圆；
∴∠AHD=180°-∠ABD=90°，
即GH⊥AC；
∴当GH⊥AC时，△AGH∽△DCH；
∵GH⊥AC，∠B=90°，
∴∠G+∠BAH=∠C+∠BAH，
∴∠G=∠C；
又∵∠GBD=∠CBA，
∴△BGD∽△CBA，
∴

BG

BC

=

BD

AB

，即

BG

16

=

6

8

，
∴BG=12，AG=8+12=20，
即AG的长为20．

点评：该题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出相似三角形，灵活运用性质解题．