Question

14．如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、CD中点，连接DE、EF、FB分别交AC于M、P、Q，且DE=4，求PQ的长．

Answer 1

分析 作DH⊥AB于H，CQ⊥AB于Q，如图，根据菱形的性质得AD=AB=CD=4，CD∥AB，则DF=BE=2，于是可判断四边形DEBF为平行四边形，得到PM=PQ，DE∥BF，则ME为△ABQ的中位线，所以AM=MQ，同理可得CQ=MQ，于是得到PQ=$\frac{1}{6}$AC；由于AD=DE=4，DH⊥AE，根据等腰三角形的性质得AH=HE=1，接着利用勾股定理可计算出DH=$\sqrt{15}$，再证明四边形DHQC为矩形得CQ=DH=$\sqrt{15}$，HQ=CD=4，∠HQC=90°，然后在Rt△ACQ中利用勾股定理计算出AC=2$\sqrt{10}$，从而可得PQ=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

解答 解：作DH⊥AB于H，CQ⊥AB于Q，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=CD=4，CD∥AB，
∵E、F分别是AB、CD中点，
∴DF=BE=2，
而DF∥BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴PM=PQ，DE∥BF，
∴ME为△ABQ的中位线，
∴AM=MQ，
同理可得CQ=MQ，
∴AM=MQ=CQ，
∴PQ=$\frac{1}{6}$AC，
∵AD=DE=4，DH⊥AE，
∴AH=HE=1，
∴DH=$\sqrt{A{D}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∵CD∥HQ，DH∥CQ，
∴四边形DHQC为平行四边形，
而∠DHQ=90°，
∴四边形DHQC为矩形，
∴CQ=DH=$\sqrt{15}$，HQ=CD=4，∠HQC=90°，
在Rt△ACQ中，AC=$\sqrt{C{Q}^{2}+A{Q}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{15}）^{2}+{5}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴PQ=$\frac{1}{6}$×2$\sqrt{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了平行四边形的判定与性质和勾股定理．